Детерминантата е функция, която съпоставя квадратна матрица с определено число. За целите на нашето доказателство, ние няма да задълбаваме в нейното естество и функции. Ние ще се нуждаем от няколко детайла и следната дефиниция:
Дефиниция: Ако $А$ е $n \times n$ матрица, то детерминантата $det(A)$ e равна на
$a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n}$.
Горната формула е известна още като "развитие" на детерминантата по първия ред на матрицата, тъй като $a_{11},a_{12},...a_{1n}$ са именно елементите от първия ред на матрицата. Стойностите $C_{11}, C_{12} ... C_{14}$ са т.нар. кофактори (или още "адюнгирани количества") на елементите в матрицата.
Всеки елемент на матрицата има кофактор. За елемента $a_{ij}$ този кофактор е равен на $(-1)^{i+j}det(A_{i;j})$, където $A_{i;j}$ обозначава подматрицата на А, която се получава, когато от нея се премахнат $i$-тия ред и $j$-тата колона. Стойността $det(A_{i;j})$ се нарича минор на елемента $a_{i,j}.$
Ние ще разширим тази нотация и под $A_{i,k;j,l}$ ще разбираме "подматрица", която се получава от $A$ чрез премахване на редове $i$ и $k$, както и колони $j$, $l$. (Вж. Пример 1)
Твърдението, което искаме да докажем е, т.нар. Теорема на Лаплас или формула на Лаплас.
Tеорема на Лаплас: Развитието на детерминантата по първия ред дава същия резултат като развитието на детерминантата по който и да е от останалите редове или колони на матрицата.
По-конкретно, това означава, че развитието по първия ред:
$det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n}$
... е равно на развитието по втория ред:
$det(A)=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+...+a_{2n}C_{2n}$
... което e равно на развитието третия и пр. редове, включително и последния, n-ти ред:
$det(A)=a_{n1}C_{n1}+a_{n2}C_{n2}+...+a_{nn}C_{nn}$,
... и тези развития са равни на развитието по първата колона:
$det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+...+a_{n1}C_{n1}$
... което е равно на развитието по втората колона:
$det(A)=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+...+a_{n2}C_{n2}$
... което е равно на развитието по третата и пр колона, включително и последната, n-та колона:
$det(A)=a_{1n}C_{1n}+a_{2n}C_{2n}+...+a_{nn}C_{nn}$
Ще подходим към доказателството на няколко фази. На първа фаза, ние ще докажем по-просто твърдение - че развитието на детерминантата по първия ред е равно на развитието по първата колона. След това ще докажем, че размяната на две колони или два реда в матрицата променя знака на детерминантата, но не и абсолютната и стойност. Накрая ще използваме тези две твърдения за да докажем общия случай на Теоремата на Лаплас.
Лема: Развитието на детерминантата по първия ред е равно на развитието на детерминантата по първата колона.
Ще докажем лемата чрез индукция върху размера на матрицата.
Случай $n=1$:Тривиално вярно.
Случай $(n-1) \rightarrow n$:
Нека A е $n \times n$ матрица:$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn} \\ \end{bmatrix}$
трябва да докажем, че
$a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+...+a_{1n}C_{1n}=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+...+a_{n1}C_{n1}$
Събираемото $a_{11}C_{11}$ фигурира от двете страни на равенството, поради което може да се съкрати, оставяйки за доказване
$a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+...+a_{1n}C_{1n}=a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+...+a_{n1}C_{n1}$
Преди да се впуснем описанието на доказателството на този случай, ще илюстрираме идеята зад него с един дълъг, но уместен пример. Да допуснем, че сме доказали твърдението за $3\times3$ матрици и искаме да го докажем за $4\times4$ матрици. Тоест за $4\times4$ матрицата
$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix}$
трябва да докажем, че
$a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}$
Събираемото $a_{11}C_{11}$ фигурира от двете страни на равенството, поради което може да се съкрати, оставяйки за доказване
$a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}=a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}$...$(1)$
Ще развием всяка от двете страни на равенството поотделно, поради малкото пространство. Започваме с лявата:
$a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}=$
= $a_{12}(-1)^{1+2}det(A_{1;2})+a_{13}(-1)^{1+3}det(A_{1;3})+a_{14}(-1)^{1+4}det(A_{1;4})=$
Всеки от тези минори е детерминантата на $3\times3$ матрица.
$A_{1;2}=det\bigg(\begin{bmatrix} \color{red}{a_{21}} & a_{23} & a_{24} \\ \color{red}{a_{31}} & a_{33} & a_{34} \\ \color{red}{a_{41}} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}\bigg)$
$A_{1;3}=det\bigg(\begin{bmatrix} \color{red}{a_{21}} & a_{22} & a_{24} \\ \color{red}{a_{31}} & a_{32} & a_{34} \\ \color{red}{a_{41}} & a_{42} & a_{44} \end{bmatrix}\bigg)$
$A_{1;4}=det\bigg(\begin{bmatrix} \color{red}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \color{red}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \\ \color{red}{a_{41}} & a_{42} & a_{43} \end{bmatrix}\bigg)$
Тъй като матриците са $3\times3$, ние можем да използваме индуктивното предположение (че вече сме доказали случая $3\times3$) и да развием детерминантите им по първата колона (оцветена в червено по-горе).
$= a_{12}(-1)^{1+2}det(A_{1;2})+a_{13}(-1)^{1+3}det(A_{1;3})+a_{14}(-1)^{1+4}det(A_{1;4})=$
$= a_{12}(-1)^{1+2}\bigg(a_{21}(-1)^{2+1}det(A_{1,2;1,2})+ a_{31}(-1)^{3+1}det(A_{1,3;1,2})+$
$+a_{41}(-1)^{4+1}det(A_{1,4;1,2})\bigg)+$
$+ a_{13}(-1)^{1+3}\bigg(a_{21}(-1)^{2+1}det(A_{1,2;1,3})+ a_{31}(-1)^{3+1}det(A_{1,3;1,3})+$
$+a_{41}(-1)^{4+1}det(A_{1,4;1,3})\bigg)+$
$+ a_{14}(-1)^{1+4}\bigg(a_{21}(-1)^{2+1}det(A_{1,2;1,4})+ a_{31}(-1)^{3+1}det(A_{1,3;1,4})+$
$+a_{41}(-1)^{4+1}det(A_{1,4;1,4})\bigg)=$
$= a_{\color{red}{1}\color{green}{2}}a_{\color{blue}{2}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{2}}(-1)^{\color{blue}{2}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{2};\color{magenta}{1},\color{green}{2}})+ a_{\color{red}{1}\color{green}{2}}a_{\color{blue}{3}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{2}}(-1)^{\color{blue}{3}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{3};\color{magenta}{1},\color{green}{2}})+$
$+a_{\color{red}{1}\color{green}{2}}a_{\color{blue}{4}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{2}}(-1)^{\color{blue}{4}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{4};\color{magenta}{1},\color{green}{2}})+$
$+a_{\color{red}{1}\color{green}{3}}a_{\color{blue}{2}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{3}}(-1)^{\color{blue}{2}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{2};\color{magenta}{1},\color{green}{3}})+a_{\color{red}{1}\color{green}{3}}a_{\color{blue}{3}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{3}}(-1)^{\color{blue}{3}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{3};\color{magenta}{1},\color{green}{3}})+$
$+a_{\color{red}{1}\color{green}{3}}a_{\color{blue}{4}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{3}}(-1)^{\color{blue}{4}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{4};\color{magenta}{1};\color{green}{3}})+$
$+a_{\color{red}{1}\color{green}{4}}a_{\color{blue}{2}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{4}}(-1)^{\color{blue}{2}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{2};\color{magenta}{1},\color{green}{4}})+a_{\color{red}{1}\color{green}{4}}a_{\color{blue}{3}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{4}}(-1)^{\color{blue}{3}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{3};\color{magenta}{1},\color{green}{4}})+$
$+a_{\color{red}{1}\color{green}{4}}a_{\color{blue}{4}\color{magenta}{1}}(-1)^{\color{red}{1}+\color{green}{4}}(-1)^{\color{blue}{4}+\color{magenta}{1}}det(A_{\color{red}{1},\color{blue}{4};\color{magenta}{1},\color{green}{4}})$
Сега ще развием дясната страна на равенството:
$a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}$
Пример: Ако
$A=\begin{bmatrix}
\color{red}{a_{11}} & \mathbf{\color{red}{a_{12}}} & \color{red}{a_{13}} \\
a_{21} & \color{red}{a_{22}} & a_{23} \\
a_{31} & \color{red}{a_{32}} & a_{33}
\end{bmatrix}$,
то тогава
$A_{1;2}=\begin{bmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{bmatrix}$ и
$C_{12}=(-1)^{1+2}det(A_{1;2})=(-1)^{1+2}det\bigg(\begin{bmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{bmatrix}\bigg)$
Няма коментари:
Публикуване на коментар