Инективни и сюективни функции /бележки/

Определение: Една функция $f$ е инективна, когато е изпълнено едно от следните две условия:
a/ $a_1 \ne a_2 \implies f(a_1) \ne f(a_2)$
б/ $f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2$

Двете условия са логически еквивалентни. Не е трудно да се дадат примери за функции, които задоволяват поне едното условие, което позволява еквивалентността им да се демонстрира и чрез противоречие.

Нека e вярно a/ и да допуснем, че б/ не е вярно. Тогава съществуват $a_1$ и $a_2$, $a_1 \ne a_2$ за които $f(a_1)=f(a_2)$. Според a/ обаче, щом $a_1 \ne a_2$, то $f(a_1) \ne f(a_2)$. Противоречие.

Нека е вярно б/ и да допуснем, че a/ не е вярно. Тогава съществуват $a_1$ и $a_2$, $a_1 \ne a_2$ за които $f(a_1)=f(a_2)$ Според б/ обаче, щом $f(a_1)=f(a_2)$, то $a_1 = a_2$. Противоречие.

Условията a/ и б/ не трябва да се бъркат с импликациите в обратната посока, които са верни за всяка функция, а не само за инективната. Така например "обратната посока" на а/ $f(a_1) \ne f(a_2) \implies a_1 \ne a_2$ е вярно за всяка функция. Същото е вярно и за $a_1=a2 \implies f(a_1)=f(a_2)$.

Определение: Нека $f:X \rightarrow Y$ е функция. Функция $g:Y \rightarrow X$ е лява обратна функция на $f$ ако за всяко $a \in X$, $g \circ f(a)=a$.

Определение: Нека $f:X \rightarrow Y$ е функция. Функция $h:Y \rightarrow X$ е дясна обратна функция на $f$ ако за всяко $b \in Y$, $f \circ h(b)=b$.

Теорема: Функция $f:X \rightarrow Y$ е инективна ако и само ако има лява обратна функция.
Доказателство:
a/ $f$ - инективна $\implies$ f има лява обратна функция.
Нека дефинираме $g:Y \rightarrow X$ за всички елементи от образа на $f$ по следния начин $g(b)=a$, където $a$ e елементът/елементите/, за които $f(a)=b$. g е функция само ако елементът, отговарящ на това изискване е един. Да допуснем че имаме два разллични елемента $a_1$ и $a_2$, за котио $f(a_1)=f(a_2)=b$. Тъй като $f$ е инективна, $f(a_1)=f(a_2) \implies a_1=a2$. Противоречие. Следователно $g$ e функция. За $g$ имаме $g(f(a))=a$ за всеки елемент $a \in X$, т.е. $g$ е лява обратна функция.
б/ $f$ има лява обратна функция $\implies$ $f$ - инективна .