Пример за използването на QR декомпозицията на матрица за намирането на собствените и стойности.

Да се намерят собствените стойности на $A= \begin{bmatrix} \frac{7}{5} & -\frac{6}{5} \\ -\frac{16}{5} & \frac{3}{5} \\ \end{bmatrix} $

Стъпка 1: Декомпозираме $A$ на $Q$ и $R$ чрез Грам-Шмидт.

$Q=\frac{\sqrt{305}}{305} \begin{bmatrix} 7 & -16 \\ 16 & -7 \end{bmatrix} $

$R=Q^{T}A=\frac{\sqrt{305}}{305} \begin{bmatrix} 61 & -18 \\ 0 & 15 \end{bmatrix} $

$A_{1} = RQ = \frac{1}{61} \begin{bmatrix} 143 & -170 \\ -48 & -21 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2.3443 & -2.7867 \\ -0.7869 & -0.3443 \end{bmatrix}$

Стъпка 2: Декомпозираме $A_{1}$ на $Q_{1}$ и $R_{1}$ чрез Грам-Шмидт.

$Q_{1}=\frac{\sqrt{22753}}{22753} \begin{bmatrix} 143 & -48 \\ -48 & -143 \end{bmatrix} $

$R_{1}={Q_{1}}^{T}A_{1}=\frac{\sqrt{22753}}{22753} \begin{bmatrix} 373 & -382 \\ 0 & 183 \end{bmatrix} $

$A_{2} = R_{1}Q_{1} = \frac{1}{373} \begin{bmatrix} 1175 & 602 \\ -144 & -429 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{blue}{3.1501} & 1.6139 \\ -0.3861 & \color{blue}{1.1501} \end{bmatrix}$

Стъпка 3: Декомпозираме $A_{2}$ на $Q_{2}$ и $R_{2}$ чрез Грам-Шмидт.

$Q_{2}=\frac{\sqrt{4849}}{82433} \begin{bmatrix} 1175 & -144 \\ -144 & -1175 \end{bmatrix} $ $

$R_{2}={Q_{2}}^{T}A_{2}=\frac{\sqrt{82433}}{82433} \begin{bmatrix} 3757 & 2062 \\ 0 & 1119 \end{bmatrix} $

$A_{3} = R_{2}Q_{2} = \frac{1}{3757} \begin{bmatrix} 11039 & -7946 \\ -432 & -3525 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}{2.9382} & -2.1200 \\ -0.1500 & \color{red}{-0.9382} \end{bmatrix}$

Стъпка 4: Декомпозираме $A_{3}$ на $Q_{3}$ и $R_{3}$ чрез Грам-Шмидт.

$Q_{3}=\frac{\sqrt{422305}}{1719185} \begin{bmatrix} 11039 & -432 \\ -432 & -11039 \end{bmatrix} $ $

$R_{3}={Q_{3}}^{T}A_{3}=\frac{\sqrt{422305}}{7179185} \begin{bmatrix} 32485 & -22942 \\ 0 & 11271 \end{bmatrix} $

$A_{4} = R_{3}Q_{3} = \frac{1}{32485} \begin{bmatrix} 98087 & 63674 \\ -1296 & -33117 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{blue}{3,0195} & 1,9601 \\ -0.0400 & \color{blue}{-1.0195} \end{bmatrix}$

Стъпка 5: Декомпозираме $A_{4}$ на $Q_{4}$ и $R_{4}$ чрез Грам-Шмидт.

$Q_{4}=\frac{\sqrt{9622739185}}{9622739185} \begin{bmatrix} 98087 & -1296 \\ -1296 & -98087 \end{bmatrix} $ $

$R_{4}={Q_{4}}^{T}A_{4}=\frac{\sqrt{9622739185}}{9622739185} \begin{bmatrix} 296221 & 193582 \\ 0 & 97455 \end{bmatrix} $

$A_{5} = R_{4}Q_{4} = \frac{1}{296221} \begin{bmatrix} 886703 & -596330 \\ -3888 & -294261 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \color{red}{2.9934} & -2.0131 \\ -0.0131 & \color{red}{-0,9933} \end{bmatrix}$

Хипотеза:

$\lambda_{1}=3$, $\lambda_{2}=-1$